| Límite de una función | Valor al que se aproxima una función f(x,y)f(x, y)f(x,y) cuando las variables xxx y yyy se acercan a un punto (a,b)(a, b)(a,b). | lim(x,y)→(a,b)f(x,y)=L\lim_{{(x, y) \to (a, b)}} f(x, y) = Llim(x,y)→(a,b)f(x,y)=L |
| Límite bidireccional | Se requiere que el límite sea el mismo independientemente del camino que se tome para llegar al punto (a,b)(a, b)(a,b). | Evaluar límites a lo largo de x=ax = ax=a y y=by = by=b. |
| Continuidad | Una función f(x,y)f(x, y)f(x,y) es continua en (a,b)(a, b)(a,b) si el límite existe y es igual al valor de la función en ese punto. | lim(x,y)→(a,b)f(x,y)=f(a,b)\lim_{{(x, y) \to (a, b)}} f(x, y) = f(a, b)lim(x,y)→(a,b)f(x,y)=f(a,b) |
| Método de Sustitución Directa | Si f(x,y)f(x, y)f(x,y) es continua en (a,b)(a, b)(a,b), el límite se puede encontrar sustituyendo directamente. | lim(x,y)→(1,2)(3x+2y)=3(1)+2(2)=7\lim_{{(x, y) \to (1, 2)}} (3x + 2y) = 3(1) + 2(2) = 7lim(x,y)→(1,2)(3x+2y)=3(1)+2(2)=7 |
| Método de Caminos | Evaluar el límite a lo largo de diferentes caminos (líneas, parábolas, etc.) para ver si el resultado es consistente. | Evaluar lim(x,y)→(0,0)x2yx2+y2\lim_{{(x, y) \to (0, 0)}} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}lim(x,y)→(0,0)x2+y2x2y a lo largo de y=kxy = kxy=kx. |
| Cambio de Coordenadas | Utilizar coordenadas polares (r,θ)(r, \theta)(r,θ) para simplificar la evaluación de límites cuando (x,y)→(0,0)(x, y) \to (0, 0)(x,y)→(0,0). | x=rcos(θ)x = r \cos(\theta)x=rcos(θ), y=rsin(θ)y = r \sin(\theta)y=rsin(θ) |
| Límites Indeterminados | Casos donde la forma 00\frac{0}{0}00 o ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞ requiere métodos adicionales para resolver. | Evaluar lim(x,y)→(0,0)x2−y2x2+y2\lim_{{(x, y) \to (0, 0)}} \frac{x^2 – y^2}{x^2 + y^2}lim(x,y)→(0,0)x2+y2x2−y2 |
| Teorema del Sándwich | Si g(x,y)≤f(x,y)≤h(x,y)g(x, y) \leq f(x, y) \leq h(x, y)g(x,y)≤f(x,y)≤h(x,y) y lim(x,y)→(a,b)g(x,y)=lim(x,y)→(a,b)h(x,y)=L\lim_{{(x, y) \to (a, b)}} g(x, y) = \lim_{{(x, y) \to (a, b)}} h(x, y) = Llim(x,y)→(a,b)g(x,y)=lim(x,y)→(a,b)h(x,y)=L, entonces lim(x,y)→(a,b)f(x,y)=L\lim_{{(x, y) \to (a, b)}} f(x, y) = Llim(x,y)→(a,b)f(x,y)=L. | Usar para acotar funciones complicadas. |